李研｜撰文

瞿立建｜编辑

1844年2月20日，路德维希·玻尔兹曼 (Ludwig_Boltzmann) 出生于奥地利首都维也纳。他出生的时间点颇为特殊，恰在“狂欢节星期二”与“圣灰星期三”之间的深夜。在西方传统中，前一天是狂欢与盛宴的日子，后一天则是斋戒和反省的开始。玻尔兹曼晚年曾开玩笑说，正是因为这个出生时刻，他的一生才总是在极度的快乐与抑郁之间来回摆动。

他的父亲是一名税务官员，母亲玛丽亚·卡塔琳娜来自萨尔茨堡（Salzburg）的商人家庭，家境殷实。玻尔兹曼家共有三个孩子，路德维希是长子、他还有一个弟弟和妹妹。靠着母亲的家族财富，孩子们得以接受良好的私塾教育，直到上中学的年纪。

少年玻尔兹曼自幼便展现出对数学和科学的浓厚兴趣，成绩几乎总是全班第一。他还开始学习钢琴，并一生热爱音乐，尤其钟爱贝多芬的作品。

在他15岁那年，父亲因肺结核去世，不久后弟弟阿尔伯特也死于肺炎。母亲在悲痛之余，将所有财力倾注于他的教育，而他也不负期望，以优异成绩毕业，并于1863年进入维也纳大学学习数学和物理。

1863年，中学毕业考试后，玻尔兹曼（中）与同学们合影。图源：参考文献1

在维也纳大学，玻尔兹曼遇到了约瑟夫·斯特藩（Jožef Štefan）。斯特藩仅比玻尔兹曼年长九岁，却是他求学时期最重要的导师。他不仅为玻尔兹曼推荐了大量前沿科学论文，还特意送上一本英语语法书——因为玻尔兹曼的母语是德语，而这些论文大多以英文写成。年轻的玻尔兹曼一边翻字典、啃语法，一边阅读文献。

Josef Stefan (1835–1893) 图源：参考文献2

通过自学，玻尔兹曼深入接触到麦克斯韦的工作，并为之深深着迷。彼时，麦克斯韦正致力于发展气体的分子运动论，试图用分子的随机运动解释气体的宏观性质。

玻尔兹曼仅用三年时间就在维也纳大学完成学业，获得博士学位。此后，他继续沿着麦克斯韦开辟的方向深入研究。他基于分子力学重新诠释热力学公式，并对麦克斯韦的气体分子速度分布律进行了大胆的多步推广，取得了统计力学最早的一批重要成果。

他的老师斯特藩则于1879年提出黑体辐射定律，指出辐射强度与黑体温度的四次方成正比，并首次较为准确地估算出太阳表面温度约为5800 K。1884年，玻尔兹曼利用热力学理论给出了该定律的严格推导，因此这一公式被称为“斯特藩-玻尔兹曼定律”。当然，这些已是玻尔兹曼毕业多年后的事了。

24岁的路德维希·玻尔兹曼。当时他在维也纳大学担任无薪讲师（Privatdozent）。图源：Wikimedia Commons

1869年，玻尔兹曼凭借斯特藩的推荐信，被聘为奥地利格拉茨大学的数学物理学教授，当时年仅25岁。

在这里，他邂逅了未来的妻子亨丽埃特（Henriette von Aigentler）。亨丽埃特1854年出生于一个颇受敬重的家庭，十岁时父亲去世，此后由格拉茨市长威廉·金茨尔（Wilhelm Kienzl）资助抚养。当时奥匈帝国的大学尚不允许女性正式入学，她曾试图旁听课程，却遭到拒绝。在玻尔兹曼的建议下，她提出申诉并最终获得成功，成为格拉茨大学第一位女学生，主修数学与科学。两人由此结缘，渐生情愫，最终走向婚姻。

玻尔兹曼与其妻子亨丽埃特（1876年）。图源：参考文献3

在格拉茨的岁月，通常被认为是玻尔兹曼一生中最幸福的时光。他酷爱自然，买下一座农场，养了一条德国牧羊犬。每天中午，牧羊犬都会准时离开农场，跑到研究所门口等他一同回家进餐。玻尔兹曼还买了一头奶牛，尽管周围不乏放牧的农夫，他却偏要向研究所的动物学教授请教如何挤奶。对家人，他也充满温情：女儿想要一只宠物猴被妻子拒绝后，他便在书房里养了几只兔子，只为哄她开心。

他的教学同样卓有成就。后来大名鼎鼎的诺贝尔奖得主斯万特·阿伦尼乌斯（Svante August Arrhenius）和瓦尔特·能斯特（Walther Hermann Nernst），这时都是玻尔兹曼课堂的学生。

1887年，路德维希·玻尔兹曼与其格拉茨的同事合影。（后排左起）能斯特（Nernst）、施特林茨（Streintz）、阿伦尼乌斯（Arrhenius）、希克（Hiecke）；（前排左起）奥林格（Aulinger）、埃廷豪森（Ettingshausen）、玻尔兹曼（Boltzmann）、克莱门契奇（Klemenčič）、豪斯曼宁格（Hausmanninger）。图源： 参考文献4

人们对熵的认识，最早可以追溯到19世纪初。彼时，蒸汽机是如同今天的AI一般的“黑科技”，吸引着无数工程师和科学家的目光。然而，随着对热机效率的不断探索，人们逐渐意识到一个令人困惑的事实：无论怎样改进设计、提升工艺，蒸汽机都无法将燃煤所产生的热量全部转化为有用的机械功，总有一部分能量无可避免地“流失”。这一现象，促使德国物理学家克劳修斯在1850年代提出了“熵”这一概念，用以描述系统中不可利用的能量份额。

然而，在玻尔兹曼之前，人们对熵的认识更像是一个经验性的自然观察：热总是自发地从高温传向低温，房间不去收拾只会越来越乱，杯子一旦摔坏就无法自己复原，种种现象都表明，自然过程似乎具有某种不可逆的方向性：一切有序终将归于无序。然而，这种宏观上的不可逆性究竟如何从微观粒子的运动中产生，仍缺乏令人满意的解释。

玻尔兹曼提出了一个洞见，可以用概率和微观状态数解释这种方向性：一个宏观状态所对应的微观状态越多，系统演化到这一状态的可能性就越大。对于由大量粒子组成的系统，高熵状态所对应的微观状态数量往往远远超过低熵状态，因此系统几乎总是从低熵状态走向高熵状态。自然过程所表现出的“方向”，由此不再是一条神秘的绝对命令，而成为一种压倒性的统计趋势。

为了理解玻尔兹曼对熵的认识，不妨设想一个简单的实验。有一个盒子，中间被隔板分成两部分：左侧充满气体，右侧则是真空。当隔板被撤去后，气体会迅速扩散，最终均匀地充满整个盒子。可是，为什么气体总是这样“自发”地扩散，而不是安安分分地留在原来的半边空间呢？

对此，玻尔兹曼给出了一个既简洁又深刻的答案：气体并非因为“必须”扩散，而是因为“扩散的状态压倒性地更有可能出现”。

设气体共有N个分子。对于每一个分子来说，它出现在盒子左半边或右半边的概率都近似为二分之一。因此，所有分子恰好同时停留在左半边的概率为 (1/2)^N。

如果盒子里只有 3 个分子，这个概率是(1/2)³，也就是1/8。这样的结果虽然不常见，但并非不可想象。然而，在现实世界中，我们深吸一口气的量大约就是 0.04 摩尔气体，相当于约2.4x10²²个分子。现在你再算算1/2 的这个巨大次幂小到什么程度？你将得到一个在物理上完全可以视为零的概率，即使等待与宇宙年龄相当的时间，也几乎不可能看到这样一次“偶然聚集”。

所以，气体为什么会散开？不是因为有什么物理定律在强迫它这样做，而是因为“散开”所对应的微观方式，其数量是以指数级、超出人类想象力的规模碾压“缩在一边”的方式数量。

图片通过AI制作

玻尔兹曼对熵的洞见可以凝练为如下公式：

其中S 表示熵（entropy），k是一个常数（后被称为玻尔兹曼常数），而W则来自德文 Wahrscheinlichkeit（概率）一词，代表系统在给定宏观状态下所对应的微观状态数目。

这个简洁的公式，将热力学第二定律从一句“宇宙万物必将走向混乱”的模糊断言，改写为一个精确而深刻的数学陈述。熵增，并非宿命，而是概率使然。

玻尔兹曼在格拉茨大学度过了平静而多产的岁月，他对熵的统计学诠释让他获得了极高的知名度，1887年还被推选为格拉茨大学的校长。然而，大约从这时起，他的精神状态开始悄然滑向低谷。

关于这一转变的原因，后世一直众说纷纭。不少人将其归咎于玻尔兹曼与反对者之间旷日持久的论战，尤其是那些坚决否认原子存在的学者。然而，根据奥地利科学院网站及一些文献的记载，情况远比学术争论复杂得多。繁重的行政工作，不断恶化的健康状况、至亲（母亲、长子与妹妹）接连离世的打击，以及他在职业选择上的反复犹疑，让他逐渐精神崩溃。

奥地利科学院网站对玻尔兹曼的介绍。图源：参考文献6

尤其是晚年的职业去留，竟演变成一场波及个人声誉的风波。

历史上，奥地利与德意志诸邦曾同属神圣罗马帝国，但到19世纪末，奥地利已是奥匈帝国的一部分。虽然奥地利学者与德国学者同处德语文化圈，在学术传统和语言上联系紧密，但在政治归属与民族认同层面，双方并非毫无隔阂。

19世纪后期，在普鲁士主导下建立的德意志帝国迅速崛起，其大学体系也吸引了欧洲最杰出的科学家。相比于复杂的政治因素，玻尔兹曼更关心的是科学本身。早在1870年，他便前往海德堡，与罗伯特·本生（Robert Bunsen）和古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav Kirchhoff）等德国学界的领军人物开展过深入交流。

1887年，时任柏林大学理论物理学主任的基尔霍夫逝世，柏林大学邀请玻尔兹曼前去参加纪念活动。并希望由他接任基尔霍夫留下的这一极具声望的席位。面对优厚的薪资和来自欧洲学术中心的召唤，玻尔兹曼几乎没有犹豫，便签署了接受任命的文件。

当时的格拉茨，正笼罩在日益高涨的民族主义气氛之中，部分激进学生甚至公开鼓吹奥地利德语地区并入德意志帝国。在这样的政治背景下，身为格拉茨大学校长的玻尔兹曼，却轻易接受了德国名校的聘请，自然引起了当地舆论和部分官方人士的不满。

玻尔兹曼自己很快也意识到事情不妥，于是写信给柏林大学，试图以健康欠佳和视力恶化为理由婉拒邀请。柏林方面的回应却出乎意料地热情：这些都不是问题，学校可以为他配备助手，教学负担也不重。这番善意的挽留反而让玻尔兹曼陷入更加尴尬的境地。最终，他不得不以更坚决的态度撤回先前的承诺。这一连串的反复，不仅令柏林大学感到不满，也未能挽回他在格拉茨的声誉。

1890年，在焦虑、自我怀疑和各种负面情绪的夹击之下，性格敏感的玻尔兹曼接受了德国慕尼黑大学的聘请，暂时离开了奥地利。

就在玻尔兹曼为自己的犹豫不决而懊恼之际，柏林大学将基尔霍夫留下的那个席位，交给了一位比他年轻十四岁的德国物理学家。那个人，正是马克斯·普朗克（Max Planck）。

如今我们很难想象，即便像普朗克这样天才的物理学家，也曾对原子的存在产生严重的怀疑。 

普朗克本人在自传中坦承：“我曾把熵增原理看作与能量守恒定律同样绝对有效的自然法则，而玻尔兹曼却只将其视为一种统计概率规律。因此，我不仅对作为其全部研究基础的原子论缺乏兴趣，甚至在某种程度上对其抱有敌意。”

直到1900年，普朗克在研究黑体辐射问题时，为了推导与实验结果相符的辐射公式，不得不引入玻尔兹曼的统计思想。正是在这一过程中，他逐渐改变了自己对原子理论的看法，并最终接受了玻尔兹曼的观点。值得一提的是，前文提到的玻尔兹曼常数k，实际上也是由普朗克首先明确引入的。

不只是普朗克，在19世纪末，整个欧洲大陆的学者对原子论的不信任几乎都达到了顶峰。在当时的物理学界，很多人认为，原子虽然能够解释一些实验现象，但缺乏直接观测证据，因此更像是一种理论模型，而非真是存在的实体。

玻尔兹曼却始终坚定地站在另一边。因为他的统计力学就建立在无数微观粒子的运动规律之上，否定原子的存在，那么他的整个理论体系都将失去根基。正因如此，他不可避免地与同时代许多学者发生了激烈争论。而且相比于普朗克实现的自我转变，另一些学者的态度则要固执得多。

例如，化学家奥斯特瓦尔德（Friedrich Wilhelm Ostwald）就是当时“唯能论”（Energetics）的公开倡导者，他主张能量（而非物质）才是宇宙的本原，物理学应重点研究能量之间的转换关系，而不应多做微观结构的假设。尽管他与玻尔兹曼的私交不错，但在原子论的问题上曾长期与其针锋相对。

除了奥斯特瓦尔德，维也纳大学的物理学家恩斯特·马赫（Ernst Mach）是另一个颇具代表性的人物。他强调经验主义和实证主义在科学探究中的核心地位，同时对原子论持根本性的否定态度。据记载，在玻尔兹曼于维也纳帝国科学院做学术报告时，马赫竟当众大声说道：“我不相信原子会存在。” 两人关系的恶劣程度由此可见一斑。

弗里德里希·威廉·奥斯特瓦尔德（1853-1932）和恩斯特·马赫 （1838-1916）。图源：Wikipeida

普朗克曾说过一句广为流传的话：“科学是在一次次葬礼中进步的。”他的意思是，新思想的胜利往往并非源于说服了旧观念的拥护者，而是随着一代人的谢幕，新的观念才逐渐成为常识。

1902年，玻尔兹曼从德国重返维也纳。尽管此时他在学术界仍享有相当高的声誉，在他六十岁生日之际，众多知名学者还专门为他搞了一本“祝寿专刊”，撰稿人包括普朗克、范德瓦耳斯和奥斯特瓦尔德等一批欧陆科学界的翘楚，堪称一时盛事。

然而，盛名之下，裂痕依旧。他关于原子论和不可逆过程的创新思想依然遭到很多科学同僚的误解甚至排斥，而此时玻尔兹曼的健康状况也持续恶化：视力严重衰退，哮喘频繁发作，情绪极端波动。当时的医生认为他是"神经衰弱" ，今天心理学家则推测，他很可能患有某种双相情感障碍。

1906年5月，玻尔兹曼因身体原因暂停了在维也纳大学的一切工作。为了寻求片刻宁静与慰藉，他与家人前往当时隶属奥匈帝国的海滨城市杜伊诺（一战后划归意大利）疗养。然而，迷人的海湾风光并没能驱散他内心的抑郁。1906年9月5日，当他的女儿海滩嬉水后归来，推开房门的那一刻，见到了最残酷的一目——父亲玻尔兹曼在窗前自缢。终年62岁。

玻尔兹曼 (1902年)。图源：Wikipedia

玻尔兹曼去世的消息震惊了欧洲学界。

从科学史的角度看，这一事件尤其令人惋惜，因为它就发生在原子论即将获得决定性证据的前夕。1905年，爱因斯坦通过对布朗运动的理论分析，为原子和分子的存在提供了新的论证。随后几年，让·佩兰（Jean Perrin）的实验工作进一步验证了这些结论。至此，长期以来围绕“原子是否真实存在”的争论基本尘埃落定，玻尔兹曼却无法亲眼见证这一结果。

如今，我们纪念玻尔兹曼时，往往都会提到镌刻在他维也纳墓碑上的那条著名公式：

短短几个符号，概括了他对熵的深刻洞见，也象征着人们认识自然方式的一次重要转变。120年过去了，玻尔兹曼的思想仍然影响着我们对物质、时间、信息和宇宙的理解，而玻尔兹曼的名字，也因此长久地留在了现代科学的历史之中。