封闭曲面一定是刚性的吗？虽然经历了数百年坚持不懈的努力，迄今为止，人类发展的几何学对此依然没有完美的解答。

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授，清华大学丘成桐数学科学中心访问教授）

刘慈欣所著科幻小说《三体》获得雨果奖，中国人的想象力终于得到了世界的承认。无数少年将仰望星空，神驰宇宙，搜寻质子展开，思考黑暗森林。

《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”：“歌者”随手抛下了一张“二向箔”，整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔，塌缩成一个二维平面，三维结构被碾压在二维平面之上。同时，这一降维过程是全息的，所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽，玉石俱焚，其结局黑暗得令人窒息。

事实上，“降维攻击”并非凭空想象，而是有其几何理论基础。

如图1所示，三维空间中的曲面经过降维攻击后被碾压成二维平面，三维几何的一切细节精确地体现在二维图像里。眉眼的结构、蜷曲的发卷、复杂的耳廓，其精巧细腻的几何形状被完美保留在二维映像之中。

图1:三维空间中的曲面经过降维攻击后被碾压成二维平面。

对于降维攻击的深入思考，使我们面临两个基本问题：第一个问题是：“维数是客观真实的，而非一种感知上的错觉？如何严格证明不同维数的空间拓扑不同？”第二个问题是：“这种降维攻击是可逆的吗？是否有可能再从低维的像重建高维几何？”

下面，我们试图对这两个问题给出确切答案。我们将会看到，这些问题直接导致了现代数学至今无法给出完整解答的艰深猜测。

第一个问题涉及空间的拓扑。给定两个橡皮膜做成的曲面，直觉上，如果其中一个可以渐变成另外一个，并且变换过程中没有撕破或粘连，则两个曲面拓扑相同。严格说，给定两个空间，如果它们之间存在连续双射，且其逆映射也是连续的，则它们拓扑等价。拓扑相同的空间具有相同的拓扑不变量，而维数就是最基本的拓扑不变量之一。

判定两个空间是否拓扑等价，须归结于计算它们各自的拓扑不变量。代数拓扑的基本想法，就是在拓扑空间中构造各种各样的群，例如同伦群和同调群，拓扑等价的空间具有同构的群，从而将拓扑问题代数化。同调群主要是衡量封闭子流形和边缘子流形之间的关系。给定空间中的一个子流形，其边缘被称为一个边缘流形；如果子流形的边缘为空，则此子流形被称为是封闭的。边缘流形必然是封闭的，反之则不尽然。封闭子流形和边缘子流形之间的差异，被同调群所刻画。

从另一角度而言，同调群捕获了空间中不同维数的“空洞”。同调群是可以直接计算的，其计算方法可以归结为求整数矩阵的特征向量和标准型。利用现代的代数方法和计算机技术，同调计算是相当成熟的。我们考察二维球面的同调群，以及三维球面的同调群，直接计算表明二维球面的二维同调群非零，而三维球面的二维同调群为零，这直接表明二维球面和三维球面彼此拓扑不等价。这也表明了维数是客观而真实的，它统摄了许多物理现象，例如热力扩散的渐进行为等（调和函数的曲率—维数估计定理）。

第二个问题涉及到空间的几何。实际上，有无穷多种方式将空间中的曲面碾压到二维平面上，这种碾压过程不可避免地产生各种畸变。现代微分几何的理论保证存在这样一种特殊的映射方法——局部上看，它是相似变换；全局上看，相似系数处处不同。因此这种变换保持局部形状，然而整体扭曲。

如图1所示，局部形状被完美保持，但是各个局部之间的面积比例发生巨大变化。这种变换被称为“共形变换”。共形变换使得曲面的面元发生变化，变化率被称为是“共形因子”。平面像上每点对应着不同的共形因子，实际上共形因子是定义在平面像上的一个函数。从共形因子函数，我们可以重建原来三维曲面的黎曼度量。

但是，为了重建原来曲面的形状，只有黎曼度量依然不够，我们需要曲面曲率的信息。曲率是用以刻画空间弯曲程度的手段。一个圆的曲率是其半径的倒数。一条曲线某点的曲率是其密切圆的曲率。所谓密切圆，就是过给定点，和曲线二阶相切的圆。考察三维空间中的一张曲面，固定一点，给定一个切向量，过切向量和法向量有一张截平面，每张截平面和曲面相交于一条曲线。曲线在固定点处的曲率被称为由切向量决定的截曲率。我们变化切向量，从而得到无穷多截曲率。这些截曲率的平均值被称为是曲面在固定点处的平均曲率。对于三维空间中的封闭曲面，共形因子和平均曲率共同决定了曲面的形状。这就是说，从共形因子和平均曲率，我们可以从二维平面像重建三维曲面。

图2:从二维平面像重建三维曲面。

共形因子和平均曲率并非相互独立，它们之间的联系错综复杂。首先，如果曲面为凸曲面，换言之，如果曲面上任意一点的任意截曲率非负，则曲面形状由共形因子唯一决定，平均曲率的信息在这种情况下是冗余的。对于一般曲面，共形因子和平均曲率函数满足所谓的Gauss-Codazzi方程。

离散曲面的Gauss-Codazzi方程具有直观解释。我们将曲面三角剖分，曲面由多个欧几里得三角形沿着边粘合而成。黎曼度量可以理解成三角形的边长。边长给定，则每个三角形的形状就被唯一决定了。平均曲率等价于每条边上两个面之间的二面角，如果二面角给定，则三角形的粘贴方式被唯一决定，从而曲面的形状被确定下来。

固定一个顶点，考察和此点相邻的三角形顶角之和，这个顶角和与平面周角的差被称为此顶点的“角欠”，也被称为此顶点的“离散曲率”。我们将和此点相邻的三角形的法向量映到单位球面上，在球面上依次连接相邻的两个法向量，得到一个球面多边形，此多边形被称为是顶点的“高斯像”。高斯像的外角等于对应三角形的顶角，高斯像的边长等于对应边的二面角。高斯方程就是说高斯像的面积等于顶点的曲率；Codazzi方程是说在单位球面上画一组球面折线，每条线段的长度等于二面角，线段之间的夹角等于对应的三角形顶角，则最终折线封闭，从而得到一个球面多边形。

如果每个顶点的曲率非负，则离散曲面的形状完全由边长决定。如果曲面曲率有正有负，则边长和二面角共同决定曲面的形状。可以想见，如果我们固定边长函数，不同的二面角函数会导致不同的曲面形状，事实的确如此。

那么，对于封闭曲面，固定其边长，我们是否可以渐变二面角函数，从而得到曲面一族连续的在三维空间中的实现？对于离散曲面，存在这样的例子：曲面可以连续等距形变。对于光滑封闭曲面，这一问题的提法如下：是否存在连续的等距形变？换言之，封闭曲面的等距形变一定是跳跃式的吗？更加简洁的说法是：封闭曲面一定是刚性的吗？虽然经历了数百年坚持不懈的努力，迄今为止，人类发展的几何学对此依然没有完美的解答。我们期待更为深刻的洞察和新颖理论的建立。

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